Intersection de deux plans en la quatrième dimension
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"We may note, however, that the notion of a space of four or more dimensions, is not, as generally supposed, necessarily beyond our powers of concrete representation. True, a space of points of more than three dimensions is an abstract generalization to vizualize wich is beyond the present powers of our imagination." Encyclopaedia Britannica 1962

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Le concept de l´hyperespace apparaît déjà dans les travaux de Georg Friedrich Riemann. Mais c´était Curbasto Gregorio Ricci qui a formulé le concept de Rn d´une manière plus expressive. Nombreux sont ceux qui le prennent pour l´auteur et se réfèrent à « l´Espace Rn de Ricci ». Quand on m´a parle pour la première fois de Rn à la faculté, j´étais assez impressionné parce que tout fonctionnait tellement bien avec Rn. Est-ce réellement comme ça ?
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Tulio Levi-Civita, un des disciples de Ricci, a approfondi le concept des vecteurs et a fait des études poussées au sujet des tenseurs. Une matière assez obscure et un sujet réservé à quelques uns seulement. Einstein lui-même aurait étudié les tenseurs pour développer la théorie de la relativité généralisée.
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Quand on mentionne les tenseurs, on parle déjà de Rn. .........................................................................................
Il est vrai qu´il y a grand nombre de faits nouveau concernant Rn. .........................................................................................
Une des plus étonnantes découvertes est extrêmement simple. Je m´en suis souvent servi pour démontrer que la géométrie quadridimensionnelle n´est pas simplement une extension dans l´espace de la géométrie tridimensionnelle. .........................................................................................
Pour commencer, imaginons un point unique dans l´espace quadridimensionnel, le point O. Comme tout autre point dans cet espace, le point O sera défini par un bloc de coordonnées x,y,z,w), où x, y, z, et w sont des nombres réels. .........................................................................................
Comme nous sommes dans un espace à quatre dimensions, je pourrai construire un système de coordonnées cartésiennes X,Y,Z et W, dans lequel chaque axe est orthogonal par rapport aux trois autres. Mettons l´origine de ce système de coordonnées au point O. Il n´y a pas moyen de faire cela dans notre espace tridimensionnel, mais vous pouvez vous imaginer un endroit où cela est possible, ou le voir avec vos yeux mentaux. .........................................................................................
Bien, c´est tout ce qu´il me faut. .........................................................................................
L´axe X et l´axe Y définissent un plan notable, que nous allons appeler A. Chaque paire d´axes définit un plan, ceci par le simple fait que, dans n´importe quel espace, une paire d´axes convergents définit un plan. Voyons on autre plan notable, le plan défini par les axes Z et W, que nous appellerons plan B. .........................................................................................
Nous allons étudier les plans A et B parce qu´ils sont très spéciaux. Sans perte de généralité, ce théorème peut être répété avec des plans absolument génériques dans l´espace à quatre dimensions. La seule différence est que la démonstration devient beaucoup plus difficile. .........................................................................................
Tous les points contenus dans le plan A ont le format P(x,y,0,0), c.à.d. que leur troisième et quatrième coordonnées sont égale à zéro, x et y étant deux nombres réels quelconque. .........................................................................................
Tous les points du plan B ont le format Q(0,0,z,w), où les deux premières coordonnées sont nécessairement zéro. N´importe quel nombre dans les premières coordonnées, même si elles sont très petites, signifie que le point quitte le plan ZW en direction de l´axe de la coordonnée dont la valeur augmente à partir de zéro. ......................................................................................... Et le point O de l´origine ?
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Les quatre coordonnées du point O de l´origine sont égales à zéro. Ses deux premières coordonnées sont zéro et le point appartient au plan A. Toutefois, sa troisième et sa quatrième coordonnée sont égales à zéro, et il a appartient également au plan B. Etonnamment, le point O appartient aux deux plans. Comme démontré ci-dessus, aucun point de ces plans respecte les deux conditions, et donc le point O est UNIQUE. .........................................................................................
Comme les droites reverses sont un fait géométrique qui est inconnu sur le plan (deux dimensions), les plans qui s´entrecoupent en un seul point qui nous sont absolument inconnus. Toutes les paires de plans que nous connaissons sont soit parallèles, ou s´entrecoupent suivant une ligne droite. Observez les intersections des lignes des plans de la pièce où vous vous trouvez. Mur et plafond, mur et plancher, par exemple. Le plafond et le plancher sont généralement parallèles. ......................................................................................... Pour en finir, je vous pose la question : comment est l´intersection du plan défini par les axes X et Y et le plan défini par les axes X et W ?
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Si vous êtes capable de répondre à cette question, je vous en félicite. .........................................................................................
Vous commencez déjà à apprendre ce que c´est l´hypergéométrie, bien que je n´ai pas encore dessiné aucune figure. .........................................................................................
Ecrire cet article me fait merveilleusement frémir. .........................................................................................
J´ai essayé, en vain, de Faire publier cet article dans les meilleurs magazines scientifiques du Brésil et du reste du Monde. En vain. .........................................................................................
Et maintenant je vous vois naviguer sur mon site, un peu comme un noble cygne qui, autrefois, était un vilain petit canard. .........................................................................................
Malgré sa simplicité, ce travail montre la richesse de l´hyperespace. Dans un plan, deux droites sont soit convergentes, soit parallèles. Dans l´espace, l´augmentation des dimensions ouvre de nouvelles possibilités. Et c´est ça l´objectif de cet article : démontrer comme il est important d´étudier l´hypergéométrie comme outil d´exploration de nouvelles possibilités. .........................................................................................
Les sphérones sont des entités géométriques qui, tenant compte de trois dimensions seulement, peuvent être des cônes ou des sphères. ......................................................................................... Avez-vous jamais vu un amuse-gueule qui pourrait mieux délecter les physiciens ?
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Amusez-vous, mes amis. A travers de ce site, l´hypergéométrie et l´hyperphysique ont trouvé la liberté !
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