Le pendule
Retour
...........................................................

"One, two, three... Infinity."
George Gamow

.........................................................................................

Le présent article est le troisième….. après, c´est l´infini.
S´il vous plaît, cher lecteur, pardonnez-moi la mathématique dans cet article. Etant donné que le présent message est également adressé à ceux qui comprennent la mathématique, je n´ai pas d´autre choix. S´il vous plaît, cher lecteur, cher ami, acceptez ce que je vous explique ci-après. Je vous promets que j´utiliserai le langage mathématique uniquement où il n´y a pas moyen de faire autrement, et je reviendrai souvent à l´analyse du phénomène physique proprement dit, car c´est lui qui est important. Depuis plus de dix ans, j´ai un pendule dans une de mes poches.
.........................................................................................

Il ne s´agit certainement pas de superstition, et il m´est souvent difficile d´expliquer pourquoi ce pendule est là. Même ainsi, je ne me fatigue jamais à le regarder, comme un gosse qui contemple son jouet préféré. Pour moi, il représente la porte de l´hyperphysique. Mais allons-y doucement.
Observez la Figure 1.
.........................................................................................




Quand on applique la deuxième loi de Newton, et après avoir fait les simplification appropriées, nous aurons :
.........................................................................................




On lit ‘thêta deux points, plus g sur l, sinus thêta égal à zéro’. Normalement, cette équation se résout par approximation de sinus thêta par thêta lui-même. Pour les angles de moins de 10 degrés l´erreur produite est inférieure à 0,2%, et pour les angles jusqu´à 20 degrés elle peut atteindre 0,8%. Il s´agit donc d´une bonne approximation. L´équation différentielle montrée ci-dessus est tout simplement un cas spécial, simplifié, d´une expression plus générale ci-dessous :
.........................................................................................




dont l´équation caractéristique est:
.........................................................................................




Observez bien cette dernière équation.
Oui, il s´agit d´une équation du second degré.
Vous souvenez-vous du problème avec le poulailler ?
Que se passe-t-il quand delta est négatif et l´équation a des racines complexes ?
Elle appelle ‘la quatrième dimension’ !
Bien, je crois que cet article est déjà saturé de maths ! Et pour ceux que cela intéresse : le mouvement du pendule est appelé «Equation différentielle linéaire de second ordre ». Le pire, c´est que même les textes de bonne qualité n´envisagent pas toujours des solutions complexes. En regardant le problème de plus près, le lecteur intéressé verra rapidement apparaître la solution complexe, ce qui est exactement ce que le mouvement oscillatoire décrit. Les obligations ayant été satisfaites, passons au phénomène physique qui nous intéresse.
Voyez la Figure 2.
.........................................................................................




Voici le pendule que j´ai, mystérieusement, dans ma poche depuis des années. Je connais deux façons de le faire osciller. L´une est comme le pendule d´une horloge, l´autre est un mouvement circulaire, comme sur la photo. Le mouvement du balancier de l´horloge est bidimensionnel, un plan. Le mouvement circulaire est tridimensionnel, comme un cône. Pour ne pas faire abstraction totale de la mathématique, mettons l´origine O au point de repos. Ainsi, naturellement, l axe X doit rester dans la direction du mouvement du pendule.
L´expression
.........................................................................................




décrit exactement le mouvement oscillatoire du pendule. Maintenant j´aimerais me pencher un peu sur les sinus et les cosinus. Pour ceux qui comprennent l´électronique, ‘courant alternatif’ est quasi synonyme de ‘courant sinusoïdal’. La forme mathématique qu´utilisent les professionnels de l´électronique correspond exactement à l´expression décrite ci-dessus. La lettre a se réfère au maximum d´amplitude, Omega est fonction de la fréquence, et b représente la phase.
Et voici quelques curiosités.
La fonction cosinus est exactement égale à la fonction sinus, avec une avance de phase de 90º. C´est bien pour cela que vous n´entendrez jamais un électronicien parler d´une ‘fonction de cosinus’ . Pour eux le cosinus n´existe pratiquement pas. Le sinus leur suffit. Le sinus et la phase. Utilisant un oscilloscope, il leur est assez facile de mesurer la différence de phase de deux signaux sinusoïdaux.
.........................................................................................

Qu´est-ce qu´un oscilloscope ?
.........................................................................................

L´oscilloscope est un instrument électronique qui mesure un signal en fonction du temps, ou, s´il s´agit d´un double faisceau, un signal en fonction de l´autre. Autrement dit, l´oscilloscope est une espèce de petit téléviseur (en fait, c´est l´ancêtre de la télévision). ’X’ est l´axe horizontal et ‘Y’ est l´axe vertical, ou vice-versa. De cette façon, nous pouvons comparer deux signaux sinusoïdaux. .........................................................................................
Que se passe-t-il sur l´écran ?
.........................................................................................

Ce qui se passe sur l´écran porte un nom. On appelle cela ‘courbes de Lissajous’. .........................................................................................
Ces figures, lorsqu´elle sont stables, ont la forme d´ellipses, de cercles, du petit poisson que nous connaissons tous, et d´autre formes intéressantes, à condition que la fréquence de l´un des signaux est égale au multiple de la fréquence de l´autre.
Et que se passe-t-il si nous introduisons deux fois le même signal ? Il s´agit de la fonction X = Y, qui est une droite inclinée à 45º.
Donc, cela signifie que la figure peut être une simple droite.
Encore une curiosité.
La fonction
.........................................................................................




est bien connue. On l´appelle fonction exponentielle.
Elle apparaît très souvent quand il s´agit de résoudre des équation différentielles, pour la très simple raison que la dérivée de le fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-même.
Dans l´équation différentielle nous mélangeons la fonction avec ses différentes dérivées. Faut-il donc s´attendre à trouver des fonctions exponentielles en résolvant des équations différentielles étant donné qu´elles génèrent des dérivées qui sont similaires à elles-mêmes ?
C´est exactement ce qui se passe.
Voyez comme c´est intéressant.
Si z est un nombre complexe, x = s+it, il en découle, selon Euler :
.........................................................................................




Voyez donc comme le sinus apparaît!
La dérivée du sinus est moins cosinus ; aussi une curiosité.
Comme le cosinus est le sinus lui-même avec une différence de phase, nous pouvons voir que la fonction de sinus possède aussi la caractéristique intéressante des fonctions exponentielles de se générer après une dérivation mathématique.
Revenons à notre pendule.
La détermination de l´équation différentielle décrivant le mouvement oscillant du pendule peut présenter une solution complexe. La solution complexe nous amène aux sinus et cosinus qui caractérisent les mouvements oscillants.
La figure a été créée en projetant la lumière du soleil sur un écran blanc, à l´aide d´un miroir.
.........................................................................................

Quelle forme le miroir devrait-il avoir, si nous voulons que le foyer soit circulaire ?
Pour m´amuser j´ai utilisé un miroir elliptique, et j´ai obtenu un foyer circulaire.
La figure montre très clairement que le mouvement du pendule n´est pas un mouvement va-et-vient. Le pendule décrit clairement un mouvement circulaire.
.........................................................................................

Mon très cher lecteur, lorsque nous sommes limités par notre espace tridimensionnel, il nous est absolument impossible de savoir quel est le mouvement ‘REEL’ du pendule. C´est comme une personne qui ne peut voir que l´écran blanc. Elle verra à peine le mouvement oscillant et ne pourra se prononcer quant au mouvement en trois dimensions. .........................................................................................
Et quelle est l´application pratique de tout cela ?
.........................................................................................

Une telle application peut être émouvante. .........................................................................................
Ayez patience. .........................................................................................
Parmi les quelques jouets qui étaient les miens quand j´étais gosse, il y avait une toupie chantante (lisez le résumé de ma biographie). Les toupies chantantes sont faites en tôle métallique est font un bruit bourdonnant quant elles tournent. Et cela me fascinait énormément.
Ce qui m´impressionnait le plus était que la toupie allait tourner comme folle, se stabiliser ensuite, et puis perdre son équilibre à nouveau après quelques instants.
Jouez avec une toupie et vous verrez ce que je veux dire.
Outre le mouvement de rotation, que nous connaissons tous, il y a les phénomènes de précession et de nutation.
Ceux-ci sont les mouvements étranges.
Le lecteur peut s´imaginer la complexité des équations qui décrit ces mouvements. Il est évident que les solutions sont complexes. On dit qu´elles ne servent à rien. Absurde !
Une simulation bien faite montrera ces mouvements. On ne pourra pas échapper à la partie complexe de la solution, soit aux modèles multidimensionnels, autrement dit, aux modèles de l´hyperespace.
.........................................................................................

Il n´y a pas moyen d´ignorer l´hyperespace !
Et pourquoi cela est tellement important ?
Quelle toupie est la plus grande que nous pouvons toucher ?
Réfléchissez bien...
.........................................................................................

Réponse : la Terre !
.........................................................................................

Qui a déjà fait une simulation mécanique par ordinateur pour découvrir ce qui va se passer en cas de dégel des glaciers ?
Cela n´inquiète vraiment personne !
Alors, est-il possible que la Terre commence à tourner comme folle d´un moment à l´autre?
Malheureusement, la réponse est Oui !
La Terre est une boule à peu près sphérique, aplatie aux pôles, où nous avons une grande concentration de masse.
.........................................................................................

Une explication sommaire par un ingénieur en mécanique serait :
il s´agit d´une boule qui tourne de manière mal équilibrée, et la distribution des continents et océans est constamment perturbée par les marées !
A nouveau l´avis d´un ingénieur en mécanique : changer la distribution des masses de cette boule serait téméraire !
.........................................................................................

Quand j´étais à la faculté je posais des questions à mon professeur au sujet de la récession et de la nutation. Je voulais mieux comprendre ma toupie. Bien sûr que le professeur a répondu évasivement. .........................................................................................
Ce qui peut se passer dans un proche avenir, disons en quelques années : le Brésil prend le place de l´Antarctique, et l´actuelle Antarctique devient un continent équatorial !
.........................................................................................

Quelle est l´explication mécanique du fait que l´axe de la Terre accuse une inclinaison d´environ 23 degrés ?
Les simplistes pourraient dire qu´il peut y avoir eu une collision avec un corps céleste.
Où est la cicatrice ?
N´est-ce pas assez étrange que l´axe d´Uranus accuse une inclinaison de 82,5 degrés et qu´une partie de sa surface se trouve dans l´obscurité (nuit, ou hiver glacial), pendant des périodes 42 ans ?
.........................................................................................

Une collision avec un corps céleste serait une explication d´autruche. .........................................................................................
Je me réfère à des faits, des choses qui se sont passées dans notre système solaire. Pourquoi n´y aurait-il l pas un balourd dynamique, comme c´est le cas de notre toupie ?
Parce que, si c´était le cas, il y aurait un danger que nous ne percevons pas, caché dans des équations différentielles aux solutions complexes, des modèles concevables uniquement dans l´hyperespace, cachés de nous, humains peu sages et irréfléchis : la menace d´un cataclysme !
.........................................................................................

Je me réserve le droit de ne pas spéculer. .........................................................................................
Notre nécessité d´utiliser des sources d´énergies nouvelles et non-polluantes peut être bien plus importante que nous croyons ! J´adore mon pendule. Je m´imagine Galileu Galilei, il y a 400 ans, observant le chandelier de la cathédrale et voyant le mouvement balançant du chandelier un instrument pour mesurer le temps. J´observe mon pendule, mes limitations tridimensionnelles, et je me demande : que peut être, en ce moment précis, le VERITABLE mouvement de mon petit jouet ? Jamais je ne saurai la réponse. Pourtant, la question me fascine !
.........................................................................................
.

Retour