O Pêndulo
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"One, two,three... Infinity."
George Gamow

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Este é o terceiro artigo... depois dele o infinito.
Peço a você, meu querido leitor, desculpas pela matemática deste artigo. Como devo transmitir uma mensagem, inclusive para quem conhece matemática, não posso ignorá-la. Ao leitor amigo, vênia para expor o que se segue, deixo contudo minha promessa de que falarei o mínimo possível matematicamente e voltarei sempre, rapidamente, a fazer a análise do fenômeno físico em si, que realmente é o que importa. Faz mais de uma década que levo em meu bolso um pêndulo.
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Nenhuma superstição nisso, e há momentos em que tenho dificuldades para justificar porque o trago comigo. Porém, eu não me canso de olhá-lo, e como um menino a contemplar seu brinquedo preferido, gosto de ver nele a porta da Hiperfísica. Mas vamos devagar.
Veja a Figura 1.
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Aplicando a segunda lei de Newton, depois das devidas simplificações teremos:
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Que deve ser lido teta dois pontos, mais g sobre l, seno teta é igual a zero. Normalmente esta equação é resolvida aproximando seno teta pelo próprio teta. O erro introduzido para ângulos de até 10 graus é de menos de 0,2% e para ângulos de até 20 graus de até 0,8%. É uma boa aproximação portanto. A equação diferencial acima é apenas um caso particular, simplificado, de uma expressão mais geral da forma:
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Cuja equação característica é:
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Observe esta última equação.
Sim, é uma equação do segundo grau.
Lembra-se do problema do galinheiro?
O que acontece quando o delta é negativo e a equação tem raízes complexas?
Está chamando a quarta dimensão!
Acho que a matemática, neste artigo, quase deveria ficar por aqui. Para quem quiser, a equação que descreve o movimento do pêndulo chama-se "Equação Diferencial Linear de Segunda Ordem". O pior é que, mesmo em bons textos, nem sempre se cogita da solução complexa. O leitor interessado, ao se debruçar sobre o problema encontrará com facilidade o aparecimento da solução complexa que é exatamente a que descreve o movimento oscilatório. Cumprida a obrigação, vamos falar do fenômeno físico que nos interessa.
Observe a Figura 2.
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Veja o pêndulo que carrego, enigmaticamente, há anos em meu bolso. Eu posso fazê-lo oscilar, de duas formas. Ou como o pêndulo de um relógio, ou fazendo um movimento circular, como está acontecendo na figura. O movimento do pêndulo do relógio ocorre em duas dimensões, num plano. O movimento circular ocorre em três dimensões, como num cone. Para não nos distanciarmos da matemática, vamos colocar no ponto de repouso a origem O. Então o Eixo X deve ficar, naturalmente, na direção do movimento do pêndulo. A expressão:
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descreve com propriedade o movimento oscilatório do pêndulo. Eu quero falar um pouco a respeito de senos e co-senos. Para quem gosta de eletrônica, corrente alternada é quase sinônimo de corrente senoidal. A forma matemática que os eletrônicos usam é exatamente a da expressão que acabo de escrever. A letra a refere-se à amplitude máxima, o Omega é função da freqüência e o b representa a fase.
Algumas curiosidades.
A função co-seno é exatamente a função seno com avanço de fase de 90 graus. Exatamente por isso, você nunca ouvirá de um eletrônico: função co-senoidal. Para eles co-seno quase não existe. Para eles basta o seno. Mas, bem entendido,seno e a fase.
Usando um Osciloscópio eles medem com facilidade a diferença de fase de dois sinais senoidais.
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Que é um Osciloscópio?
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Um osciloscópio é um instrumento eletrônico que mede um sinal elétrico em função do tempo, ou (se for de duplo feixe) um sinal em função do outro. Dito em outras palavras, é como se fosse uma pequena televisão (na realidade é o avô da televisão) que na vertical está o Eixo Y e na Horizontal o Eixo X, ou vice-versa. Usado desta forma podemos comparar dois sinais senoidais. .........................................................................................
O que aparece na tela?
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O que aparece na tela tem nome, chama-se figura de Lissajour. .........................................................................................
Estas figuras, se forem estáveis, serão elipses, círculos, a famosa figura de um peixinho e outras interessantes figuras se um sinal for de freqüência múltipla do outro.
E se introduzirmos duas vezes o mesmo sinal? Obviamente, trata-se da função X=Y que é uma reta de inclinação 45 graus.
Veja então, que a figura pode ser uma simples reta.
Outra curiosidade.
A função:
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é muito conhecida, e é chamada função exponencial.
Esta função aparece com muita freqüência na resolução de equações diferenciais pela simples razão de que a derivada da função exponencial é a própria função exponencial.
Na equação diferencial misturamos a equação com suas diferentes derivadas. Seria de se esperar encontrar funções exponenciais na solução de equações diferenciais pelo fato delas gerarem derivadas semelhantes a elas próprias.
E isso realmente acontece.
Veja que interessante.
Se z for um número complexo z = s+it, então segundo Euler:
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Olhe aí o seno aparecendo!
A derivada do seno é menos co-seno, também por curiosidade.
Como co-seno é o próprio seno com uma diferença de fase, estamos vendo que a função seno também carrega a interessante propriedade das funções exponenciais de se auto-regenerar depois de uma derivação matemática.
Voltando ao nosso pêndulo.
Vamos por em ordem o que observamos.
A resolução da equação diferencial que descreve o movimento oscilatório do pêndulo pode apresentar uma solução complexa.
A solução complexa nos leva a senos e co-senos característicos dos movimentos oscilatórios.
A figura foi produzida projetando a luz do sol em um pano branco com a ajuda de um espelho.
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Para obtermos um foco circular como deve ser a forma do espelho?
Só por diversão, deve ser elíptico.
Usei um espelho elíptico e consegui um foco circular. A figura mostra com muita clareza que o pêndulo não está num movimento de vai e vem. O pendulo está claramente descrevendo um círculo.
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Meu caríssimo leitor, quando estamos confinados no nosso espaço tridimensional não podemos saber de forma nenhuma qual é o movimento "REAL" do pêndulo. É como uma pessoa que só pode olhar a tela branca. Só consegue ver o movimento oscilatório e não pode dizer mais nada a respeito do movimento em três dimensões. .........................................................................................
Qual a aplicação prática disso?
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A aplicação pode ser dramática!
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Espere um instante. .........................................................................................
Um dos poucos brinquedos que tive quando criança (leia resumo da minha biografia) foi um pião de lata que fazia um som. Eu me fascinava com o meu pião.
O que mais me fascinava era quando o pião começava a fazer movimentos malucos e depois se estabilizava, para alguns instantes depois apresentar novamente os movimentos malucos.
Parecia que o pião escondia os movimentos.
Brinque com um pião e verá o que estou dizendo.
Além do movimento de rotação, que todo mundo conhece, existem ainda os movimentos de precessão e de nutação.
São exatamente estes, os movimentos estranhos.
O leitor pode adivinhar a complexidade das equações que descrevem estes movimentos. Obviamente aparecem soluções complexas.
Que todo mundo diz que não servem para nada. Bobagem!
Uma simulação bem feita mostraria estes movimentos e teríamos que lidar, obrigatoriamente com a parte complexa das soluções, o que equivale a dizer usar modelos multidimensionais, ou modelos no Hiperespaço.
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Não há como fechar os olhos para o Hiperespaço!
Qual a importância prática disso?
Qual é o maior pião em que podemos colocar nossas mãos?
Pense.
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A resposta é a Terra!
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Quem já fez uma simulação mecânica por computador, bem feita, para saber o que pode acontecer com o descongelamento das geleiras?
Ninguém está absolutamente preocupado com isso!
Então, a Terra pode apresentar movimentos malucos de um momento para outro?
A resposta, infelizmente é: sim!
A Terra é uma bola aproximadamente esférica, achatada nos pólos onde há uma clara concentração de massa.
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Dito de forma sintética por um engenheiro mecânico:
Uma bola girando com um evidente desbalanceamento, distribuição dos continentes e dos oceanos, constantemente perturbados pelas marés!
Ainda minha opinião de engenheiro mecânico:
Mudar a distribuição de massas nesta bola pode ser temerário!
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Quando estava na faculdade perguntei ao meu professor a respeito dos movimentos de precessão e de nutação. Queria saber mais a respeito do meu pião. O professor, evidentemente, tergiversou. .........................................................................................
Coisas que podem acontecer: num intervalo muito curto, anos, o Brasil pode se transformar numa nova Antártica e a própria Antártica em um continente equatorial!
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Qual a explicação mecânica da inclinação de aproximadamente 23 graus do eixo da Terra?
Dizem os simplistas que pode ter sido um choque com um corpo celeste. Onde está a cicatriz?
Não é muito estranho que o eixo de Urano apresentar uma inclinação de 82,5 graus e que uma parte da superfície de Urano fica na sombra (noite ou um gélido inverno) por 42 anos?
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Choque com um corpo celeste, dirão novamente os simplistas. .........................................................................................
Estou falando de fatos. Ocorrências do nosso próprio Sistema Solar.
Por que não um desbalanceamento dinâmico como o do pião que qualquer menino conhece?
Porque se assim fosse existe um risco oculto, escondido em equações diferenciais com soluções complexas, modelos só possíveis no Hiperespaço escondendo de nós insensatos e incautos humanos, a ameaça de um cataclismo!
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Reservo-me o direito de não especular.
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A importância de se usar uma nova fonte de energia limpa pode ser muito maior do que se pensa! Tenho paixão pelo meu pêndulo. Imagino Galileu Galilei 400 anos atrás observando o lustre de uma catedral e vendo no movimento pendular do lustre um instrumento marcador de tempo. Eu vejo no meu pêndulo, minha limitação tridimensional e me pergunto: qual será neste instante o movimento REAL do meu brinquedinho? Nunca saberei a resposta. Mas a pergunta me fascina!
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